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For every Brouwer (ie planar, fixed point free, orientation preserving)
homeomorphism h there exists a covering of the plane by translation
domains, invariant simply-connected open subsets on which h is
conjugate to an affine translation. We introduce a distance dh
on the plane that counts the minimal number of translation domains
connecting a pair of points. This allows us to describe a combinatorial
conjugacy invariant, and to show the existence of a finite family of
generalised Reeb components separating any two points x,y such that
dh(x,y)>1.
Résumé
Tout homéomorphisme de Brouwer s'obtient en recollant
des domaines de translation (ouverts simplement connexes,
invariants, en restriction auxquels la dynamique est conjuguée
à une translation). On introduit une distance dh sur
le plan qui compte le nombre minimal de domaines de translation dont la
réunion connecte deux points. Ceci nous permet de décrire
un invariant combinatoire de conjugaison, qui décrit très
grossièrement la manière dont les domaines de translation se
recollent. On montre également l'existence de structures dynamiques
qui généralisent la présence de composantes de Reeb
dans les feuilletages non triviaux du plan.
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