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A linking pairing is a symetric bilinear pairing
λ:G×G→Q/Z on a finite abelian group.
The set of isomorphism classes of linking pairings is a non-cancellative
monoid E under orthogonal sum, which is infinitely generated and
infinitely related. We propose a new presentation of E that enables one
to detect whether a linking pairing has a given orthogonal summand. The
same method extends to the monoid Q of quadratic forms on finite
abelian groups. We obtain a combinatorial classification of Q (that
was previously known for groups of period 4).
As applications, we describe explicitly 3–manifolds having a degree
one map onto prescribed (or proscribed) lens spaces. Most of the
results extend to 3–manifolds endowed with a parallelization or a spin
structure. In particular, the Reidemeister–Turaev function detects the
existence of a spin preserving degree one map between a rational homology
3–sphere and a lens space.
Résumé
Un enlacement est une forme bilinéaire symétrique
λ:G×G→Q/Z sur un groupe abélien
fini. L'ensemble des classes d'isomorphismes d'enlacements forme un
monoïde E, pour la somme orthogonale, à un nombre infini de
générateurs et de relations, sans simplification. Nous
proposons une nouvelle présentation de E qui permet de
reconnaiître si un enlacement possède un facteur orthogonal
donné. La même méthode se généralise au
monoïde Q des formes quadratiques sur les groupes abéliens
finis. Nous obtenons ainsi une classification combinatoire de Q,
classification qui n'était précédemment connue que
pour les groupes de période 4.
Comme application, nous décrivons explicitement les
3–variétés admettant une application de
degré un sur des lenticulaires prescrits (ou proscrits). La
plupart des résultats se généralisent aux
3–variétés munies d'une parallélisation
ou d'une structure spinorielle. En particulier, la fonction de
Reidemeister–Turaev distingue l'existence ou non d'une application
de degré un préservant les structures spinorielles entre
une 3–sphère d'homologie rationnelle et un
lenticulaire.
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